带你用初等数学知识推导曲率中心和半径

大家看了小编上一篇浅谈π与e的关系的文章，是不是还意犹未尽呢？下面小编将从初等数学的角度带大家推导一下曲率中心和半径的公式。

公式

曲率半径：

曲率半径公式

曲率中心：

曲率中心公式

定义

类比于圆的两切线的垂直平分线交于圆心，我们假设任一曲线无限接近于一点P（x。，y。）的两切线的垂直平分线也交于一点，如下图

示例图形

推导过程

有了定义，那我们就直接开门见山，开始推导曲率中心的公式吧：

l1：y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)

l2：y-f(x。+Δ x)=-(1/f'(x。+Δ x))[x-(x。+Δ x)] ,其中Δ x->0

我们把y消去后就可以得到

f(x。)-(x-x。)/f'(x。)=f(x。+Δ x)-[x-(x。+Δ x)]/f'(x。+Δ x)

移项得

{[f'(x。+Δ x)-f'(x。)](x-x。)-f'(x。)Δ x}/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f(x。+Δ x)-f(x。)——（1）式

由于当Δ x->0时，有

f'(x。)=[f(x。+Δ x)-f(x。)]/Δ x

f''(x。)=[f'(x。+Δ x)-f'(x。)]/Δ x

因此（1）式等号两边同除Δ x->0得

[f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)f'(x。+Δ x))=f'(x。) ——（2）式

由于Δ x->0，

因此,f'(x。+Δ x)=f'(x。)

所以（2）式可以写成

[f''(x。)(x-x。)-f'(x。)]/(f'(x。)^2)=f'(x。)

移项得

x=x。-[f'(x。)^3+f'(x。)]/f''(x。)

代入y-f(x。)=-(1/f'(x。))(x-x。)得

y=f(x。)+[f'(x。)+1]/f''(x。)

至此，曲率中心的公式就推导出来了

曲率中心公式

由距离公式得

r=|PM|，其中P的坐标是（x。，y。），M的坐标就是曲率中心，我们不难得到曲率半径的公式

曲率半径公式

哈哈，怎么样？是不是简单易懂，其实很多复杂的微积分都可以变得很简单，只要你勇于探索，你就可以发现更多美妙的方法。

声明原创

所有内容为小编原创，若有引用，请与小编联系。